实系数多项式都能分解成不超过2次的实系数多项式的乘积?

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Math001

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注意到如果$z$是是系数多项式的根,则$\overline{z}$也是。

于是多项式的虚数根成对出现。

于是多项式在复数域能分解成

$a(x-x_1)\cdots(x-x_m)(x-z_1)(x-\overline{z_1})\cdots(x-z_n)(x-\overline{z_n})$

其中$x_1,\cdots,x_m$为其实根,$z_1\cdots z_n$为其虚数根,$a$是最高次项系数

注意到,对任意复数$z+\overline{z}~,~z\overline{z}$都是实数。

于是上面的式子其实等于

$a(x-x_1)\cdots(x-x_m)[x^2-(z_1+\overline{z_1})x+z_1\overline{z_1}]\cdots[x^2-(z_n+\overline{z_n})x+z_n\overline{z_n}]$

写成了不超过2次实多项式的因式分解。

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