一个子群的极小生成集一定存在吗?

设$G$是群,$H$是$G$的子群.若$S\subseteq G$是生成$H$的最小集合,则称$S$是$H$的生成集.显然生成集不一定是唯一的,我的问题是子群$H$的生成集一定存在吗?
已邀请:

Math001

赞同来自:

我们来证明$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$没有极小生成集,所以找到一个反例。



如若不然,设$S$为$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$的极小生成集。
对每个$[q]\in S$,$q$能写成即约形式,其分母能素分解。

则有:

1、 $S$中必有一元,其分母含有$2$为素因子。(否则$ [\cfrac{1}{2}] $无法从$S$生成)。

2、不存在$l,k$,其中$l 这是因为对于即约的$\cfrac{q}{2^kp}$由互素性有,存在整数$u,v$
使得$uq+v2^kp=1$
于是$[\cfrac{1}{2^kp}] =[\cfrac{uq+v2^kp}{2^kp} ]= [u\cdot \cfrac{q}{2^kp}+v] =u[\cfrac{q}{2^kp}]$
这说明$[\cfrac{1}{2^kp}]$能被生成。从而$[\cfrac{q'}{2^lp'}] = [q'2^{k-l}\cdot\cfrac{1}{2^kp'}]$能被生成。
这与 $S$的极小性矛盾。


综合1、2、,我们取$n$为分母素因子含有$2$的元,设其次数为$n$。则$[\cfrac{1}{2^{n+1}}]$无法被生成。
与$$$为生成集矛盾。

证毕。

要回复问题请先登录注册