费马定理相关(核实无误)

$f(x)$在$\mathbb{R}$上可导,且满足$\cfrac{f(x)}{|x|}$$\to+∞(x→∞)$,证明$\forall a∈R,\exists$$\varepsilon∈\mathbb{R}$,使得$f'(\varepsilon)=a$
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Math001

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呃,另外给个证明方法吧,不需要使用达布定理(貌似这个定理非数学专业的人一般不学):
$\textbf{证明:}\;\;$记$\displaystyle g(x) = \begin{cases}f'(0),& x=0\\ \frac{f(x)-f(0)}{x},&x\neq 0\end{cases}$,则可知$g(x)$在$\mathbb{R}$上连续,并且
        $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty,\;\;\;\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$
从而可知对任意$a\in\mathbb{R}$存在$x\in\mathbb{R}$使得$g(x)=a$(这个用零点定理可以搞定),即
      $\displaystyle a = g(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
由Cauchy中值定理可知存在$\varepsilon$介于$0$与$x$之间使得$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(\varepsilon)$。证毕!

Math001

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首先,在区间上,不难证明一个函数的导函数是有介值性的(达布定理)。那么我们只要说明f'(x)在R上即无上界也无下界即可。若f'(x)有上界,即存在M>0 使得 f'(x)<=M 对任何x成立,那么对x>0,由中值定理
f(x)-f(0)=f'(a)x<=Mx 与题目条件矛盾(令x趋于正无穷)。若f'(x)有下界,即存在A>0 使得f'(x)>=-A 对任何x成立,同理对x<0 f(x)-f(0)=f'(b)*x<=-Ax 两端同除以(-x) 令x趋于负无穷,又与题目条件矛盾

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