与正交矩阵相关。

已知矩阵$A$,$B$均为$n$阶正交矩阵,试证:$n-rank(A+B)$为偶数当且仅当$\det(A)=\det(B)$.
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Math001

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由于正交阵的行列式只能是$\pm1$所以$\det(A)=\det(B)\Leftrightarrow \det(A)\cdot\det(B)=1$

而$rank(A+B) = rank(A^T(A+B)) = rank(I+A^TB)$

若设$A^TB$的特征根为$\lambda_i,i=1,2,...,n$,其中特征根为$-1$个数为$k$,易证
$n-rank(A+B) = n-(n-k)=k$

注意到$A^TB$还是正交阵,于是其特征值只能是$1,-1$及成对出现的模长为$1$共轭复根。
即有所有非$-1$的特征根的积为$1$

于是$\det(A)\cdot\det(B)=\det(A^TB) = (-1)^k $

即$\det(A)\cdot\det(B)=1\Leftrightarrow k偶数$

证毕

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