可测集E测度大于0,那么E的势至少为$c$吗

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Math001

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提示:
正测度集包含一个正测度的紧集(有界闭集)。所以我只对正测度的闭集讨论。

设$F$是正测度紧集,则$F$必不可数。
那么一定存在不相交的两个闭区间$I_0,I_1$满足$m(I_0),m(I_1)<\cfrac{1}{2}$,使得$F\cap I_0$与$F\cap I_1$都不可数。
记$P_0 = F\cap I_0,P_1 = F\cap I_1$
注意到$P_0,P_1$都是不可数的闭集。

于是可以找到不相交的两个闭区间$I_{00},I_{01}\subset I_0$满足$m(I_{00}),m(I_{01})<\cfrac{1}{2^2}$,使得$P_0\cap I_{00}$与$F\cap I_{01}$都不可数闭集。
并找到不相交的两个闭区间$I_{10},I_{11}\subset I_1$满足$m(I_{10}),m(I_{11})<\cfrac{1}{2^2}$,使得$P_0\cap I_{10}$与$F\cap I_{11}$都为不可数闭集。

这样一直做下去,会得到一个类似Cantor集构造的操作,得到一系列闭区间套,从而$F$包含一个基数为$c$的集合。

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