抽象代数基本问题

${x,y}都是二阶生成元,即x,y \neq e(单位元),{x}^{2}=1,{y}^{2}=1,在以x,y为生成元的群{}中,$如何证明 ${xy=yx }$?
已邀请:

Math001

赞同来自:

这个是假命题,反例如下:

取$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$中所有可逆函数的集合,乘法取函数的复合。

找其一个子群,由下面的$f,g$生成。

令$f(x)=\begin{cases}x^2&x<0\\-\sqrt{x}&x\ge0\end{cases}$,
$g(x)=\begin{cases}\sqrt{-x}&x<0\\-x^2&x\ge0\end{cases}$

容易验证$f(f(x))=g(g(x))=x$

而$f(g(x))=\begin{cases}-\sqrt[4]{-x}&x<0\\x^4&x\ge0\end{cases}$
$g(f(x))=\begin{cases}-x^4&x<0\\\sqrt[4]{x}&x\ge0\end{cases}$

不可交换

要回复问题请先登录注册