弦长和弧长在无穷小情况下相等这一定理,可否对仅仅是可导的曲线成立?

弦长和弧长在无穷小情况下相等这一定理,对连续可导的曲线是成立的。可否对仅仅是可导的曲线成立?有反例吗?
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Math001

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当然了,也许你会问“什么样的弧”有“弧长”,当然最根本的是利用定义“弦长和的极限存在”的弧就有“弧长”。然后书上说了“分段光滑”,也就是“导数分段连续”的弧是有弧长的,所以自然就会有“弦长和弧长在无穷小情况下相等”。
那么不是“分段光滑”的弧呢?这玩意不太好找,我构造了这样一个例子,LZ可以自己试一下$x\in[0,1]$:
$f_1(x) = x $,实际上为(0,0)到(1,1)的连线
$f_2(x) = \begin{cases}\cfrac{x}{2},& 0\leq x\leq \cfrac{1}{2}\\
\cfrac{3}{2}x-\cfrac{1}{2},& \cfrac{1}{2}\leq x\leq 1\end{cases}$,实际上为(0,0)到(1/2, 1/4)到(1,1)的折线
$f_3(x)=\begin{cases}\cfrac{x}{4},&0\leq x\leq \cfrac{1}{4}\\
\cfrac{3}{4}x-\cfrac{1}{8},&\cfrac{1}{4}\leq x\leq \cfrac{1}{2}\\
\cdots,&\end{cases}$ (0,0)到(1/4,1/16)到(1/2,1/4)到...的折线
$f_4(x) = ...$
这样取$\displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty}f_n(x)$,则$f(x)$不光滑,并且弧长存在。

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