概率论 偏度 问题

${X}_{i}$(i=1,2,……,n)独立同分布
E[${X}_{1}$]=$\mu$ ,Var[X]=${\sigma}^{2}$ ,偏度为$\gamma$
考察$\bar{X}$=$\cfrac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$${X}_{i}$的期望、方差、偏度
前两个问题不大,最后一个偏度,应该是怎样的?

注:偏度=E[${(X-\mu)}^{3}$]/${\sigma}^{3}$
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Math001

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首先易知$\displaystyle E(\overline{ X}) = \mu,\;\; Var \overline{ X} = \cfrac{\sigma^2}{n }$
偏度:
$\begin{align*}
S(\overline{X}) &= \frac{E(\overline{X} - \mu)^3}{(Var \overline{ X})^{3/2}}\\
&= \frac{1}{n^{3/2}\sigma^3}E \Bigl( \sum_{i=1}^{n }(X_i - \mu) \Bigr)^3\\
&= \frac{1}{n^{3/2}\sigma^3} E \Bigl( \sum_{i,j,k} (X_i-\mu)(X_j-\mu)(X_k-\mu) \Bigr)\\
&= \frac{1}{n^{3/2}\sigma^3} \sum_{i,j,k} E(X_i-\mu)(X_j-\mu)(X_k-\mu)\\
&= \frac{1}{n^{3/2}\sigma^3} \sum_{i=1}^{n }E(X_i-\mu)^3\\
&= \frac{\lambda}{\sqrt{n }}
\end{align*}$
注意,其中倒数第二步是因为当$i,j,k$不全等的时候$ E(X_i-\mu)(X_j-\mu)(X_k-\mu) = 0$(为什么?自己想)

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