一个零测集能否写成闭集的可数并

$E$ 是 $\mathbf{R}$ 的零测集,$E$ 是否一定能写成$\mathbf{R}$ 上闭集的可数并?
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Math001

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不一定。
设有理数集$\mathbb{Q}=\{q_1,q_2,...,q_n,...\}$
取$G_n=\bigcup\limits_{i=1}^\infty(q_i-\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{2^{i+1}},q_i+\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{2^{i+1}})$
$G=\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_n$

显然$G$是Borel集,于是可测,且有对任意的正整数$n$有
$m(G)\le m(G_n)=m\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty(q_i-\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{2^{i+1}},q_i+\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{2^{i+1}})\right)\le\sum\limits_{i=1}^\infty\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{2^i}=\cfrac{1}{n}$

于是$G$是零测度集。

现在来证明$G$不能写成闭集的并,
如若不然,$G=\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n$,$F_n$闭集,则每个$F_n$是零测度集。
令$H_n=G_n-F_n$,显然有每个$H_n$是开集,
而且还能知道$H_n$在$\mathbb{R}$中稠密。
否则有存在开区间$I$使得$I\cap(G_n-F_n)=(I\cap G_n)-F_n=\emptyset$得到$I\cap G_n\subset F_n$,
而$G_n$是稠密开集,则$I\cap G_n$非空开集,说明$F_n$有内点,与它是零测集矛盾。

于是有$\bigcap\limits_{n=1}^\infty H_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty(G_n-F_n)=\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_n-\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n = G-G=\emptyset$,
这与Baire纲定理矛盾。

PS,贝尔纲定理:$\mathbb{R}$中(更一般的在完备度量空间或者Hausdorff局部紧空间中),可数个稠密开集的交稠密。

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