齐次线性方程组的基础解系向量个数的问题

$A$是$4\times3$矩阵,$η_1,η_2,η_3$是$Ax=β$的三个线性无关的解。根据这些信息可以确定$Ax=0$ 的基础解系所含向量个数吗,是多少呢?

原题是让根据上述信息确定$Ax=β$ 的基础解系,根据答案 $(η_1+η_2)/2 + k_1(η_2-η_1) + k_2(η_3-η_1)$ ,$Ax=0$ 的基础解系所含向量个数应该是$2$。

但问题是怎么确定就是$2$的呢?可以简单但一针见血的证明一下吗?谢谢。
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Math001

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你这个应该有条件$\beta\neq0$
问题比你想的要复杂得多。答案中的$\eta_2-\eta_1$与$\eta_3-\eta_1$,
这两个非零向量不一定线性无关。
即有可能$\eta_3-\eta_1 = c(\eta_2-\eta_1)$。
如果这个情况发生,上面的通解表达中,其实只有一个基础解系。

而三个线性无关的解这个事实,能帮助你得到他的基础解系中的线性无关向量不会超过$2$

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