Ax=β 的解向量,其基础解析的向量个数

$Ax=0$ 时,解向量组的基础解析的向量个数为$n-r(A)$。
那么$Ax=β$ 时,有同样的结论吗?
已邀请:

Math001

赞同来自:

我们分三种情况进行讨论:

(1) $AX=\beta$ 无解
要论证这种情况可能发生,我们只需构造出一个反例:
对于方程:
$x_1+x_2=1$
$x_1+x_2=0$

$r(A)=1,n=2,n-r(A)=1$,但方程无解

(2) $AX=\beta$ 有解

设$X_0$是$AX=\beta$的解,若$AX=0$有解$\alpha$,容易验证$X_0+\alpha$也是方程$AX=\beta$的解。

反之,若$X_1,X_2$都是$AX=\beta$的解,那么$X_1-X_2$是方程$AX=0$的解。

即$AX=\beta$的全部解由$X_0+\alpha$的形式构成,$X_0$为$AX=\beta$的一个特解,$\alpha$为$AX=0$的任意解。

设$\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_r$为方程$AX=0$的一组基础解,则$X_0,\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_r$构成$AX=\beta$的解一组基。(但是注意,这里解集不满足加法封闭性,所以不再是线性空间)

当$X_0,\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_r$线性无关的时候,线性无关解向量个数为$n-r(A)+1$

下面我们构造出这样的情况:

$A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)
$ $\beta=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
$

$r(A)=1,n=2,n-r(A)=1$,但是方程有两组不同线性无关的解:

$X_1=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)
$ $ X_2==\left(\begin{array}{cc}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right)
$

Math001

赞同来自:

我们知道,齐次线性方程组总是有解的,解有两种情况(A为m$\times$n矩阵):(1)r(A)=n时,有唯一解,即只有零解;(2)r(A)$<$n时,解不唯一,即:除了零解外,还有非零解;而非其次线性方程组就稍微复杂些,涉及到可能无解的情况,具体来说解有三种情况:(1)r(A)$\neq$r(A,$\beta$)时,无解;(2)r(A)$=$r(A,$\beta$)$=$n时,有唯一解;(3)r(A)$=$r(A,$\beta$)$<$n时,解不唯一。所以,这题要先考虑是否有r(A)$=$r(A,$\beta$),如果成立,则Ax=$\beta$的基础解系含解向量的个数为n-r(A).

要回复问题请先登录注册