一道几何问题,证明两角相等

$\triangle ABC$中,$\angle C$为直角,$H$为$C$在$AB$上的垂足,在$HC$延长线上任取一点$D$,做$DF \parallel AC$,交$BA$的延长线于$F$,求证$\angle CFA=\angle BDH$
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Math001

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首先我们心中都有了一个草图。本证明是通过证明$\triangle CFA\sim\triangle BDC$来实现的。
一方面,过点$C$作$AF$的平行线$CG$交$DF$与点$G$,从而构造出平行四边形$AFGC$。又$CH$垂直于$AB$,即$DC$垂直于$CG$。所以在$Rt\triangle DCG$中,$\tan\angle GDC=\frac{CG}{CD}=\frac{AF}{CD} (1)$;
另一方面,由 $\triangle ABC$中$\angle C$为直角可得 $\tan\angle ABC=\frac{AC}{CB} (2)$;
显然$\angle GDC=\angle ABC$,结合$(1)$式与$(2)$式可得$\frac{AF}{CD}=\frac{AC}{CB}$;
显然$\angle FAC=\angle DCB$,由“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”知$\triangle CFA\sim\triangle BDC$,于是结论$\angle CFA=\angle BDC=\angle BDH$成立。$\blacksquare$

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