半正定矩阵的一个充分条件。

设 $n$阶对称方阵$S$的前$n-1$个顺序主子式$S\begin{pmatrix}1\, 2\cdots k\\1\, 2 \cdots k\end{pmatrix}>0,k=1,2,\cdots,n-1,$且$|S|\geq0.$证明:$S$为半正定矩阵。
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Math001

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只需要证$S$的任意$m$阶子式都不小于$0$
由于$S$的任意$m$阶子式都满足前$m-1$个顺序主子式大于$0$,本身行列式式不小于$0$。
所以由数学归纳法,只需要证明$n=2$时,是所有主子式不小$0$


$n=2$时,设$S=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{matrix}\right)$
若$|S|>0$,则$S$正定,所以半正定,所以所有子式不小于$0$。
若$|S|=0$,则$a_{11}a_{22}=a_{12}^2$ , $a_{22}=\cfrac{a_{12}^2}{a_{11}}\ge0$,得到所有子式不小于 $0$
故$n=2$时成立。

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