数列收敛的初值条件

设数列$\{{x}_{n}\}$由${x}_{1}=a$,${x}_{n+1}={x}_{n}+\cfrac{{{2x}_{n}}^{3}}{{3{x}_{n}}^{2}-1}$$(n\geq1)$所确定。试求所有这样的$a$,使得$\{{x}_{n}\}$确定且有有限的极限。
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Math001

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如果极限存在,那么极限只能是0。
$x_{n+1} = x_n \cfrac{5x_n^2 - 1}{3x_n^2-1}$
解方程$| \cfrac{5x_n^2 - 1}{3x_n^2-1}|>1$,得$x_n^2 > 1/4$
当某个$x_n^2 > 1/4$时,会有$|x_{n+1}| > |x_n|$,这样$|x_n|$会是一个严增的数列,不可能以0为极限。这说明$a^2 \le 1/4$

当$a^2=1/4$时,易知$x_{n+1} = -x_n$,且$|x_n|=1/2$,此时极限也不存在。

当某个$x_n^2 < 1/4$时,我们有$|x_{n+1}| < |x_n|$,这样得到$|x_n|$严减。至于$|x_n|$下降到0,只需看到$|x_n|\le |a| < 1/2$时,$| \cfrac{5x_n^2 - 1}{3x_n^2-1}| \le |\cfrac{5a^2 - 1}{3a^2-1}|<1$

于是条件为$|a|<1/2$

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