群G的自同构群阶为1 证明群G的阶不超过2

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Math001

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设群$G$满足$|G|>2$,往证$G$的自同构群$\text{Aut}(G)$的阶数不少于$2$,即证$G$上有一个非恒同的映射的自同构映射。

情况1:存在$a\in G$使得$a^2\neq e$,
则令$f:G\to G$,$f(x)=x^{-1}$。$f$就是一个非恒同的映射的自同构映射。

情况2:对任意$a\in G$使得$a^2= e$,
则$G$是交换群,那么取两个非单位元的不同的$a,b\in G$,
则$\{e,a,b,ab\}$是$G$的一个正规子群,于是再找$G$的一个子群$H\cong G/\{e,a,b,ab\}$
定义$f:G\to G,f(x)=\begin{cases}x&x\in H\\ abx&x\in aH\\ax &x\in bH\\bx&x\in abH\end{cases}$
可以验证$f$是一个非恒等映射自同构

补充:$H$存在性的证明
设$M=\{e,a,b,ab\}$,即前文定义过的子群。
设$\Gamma=\{A~:~A为G子群且对任意不同的s,t\in A,s,t不在M划分的同一陪集里\}$
那么$\Gamma$非空,因为$\{e\}\in\Gamma$。
根据Zorn引理,$\Gamma$中,存在关于集合包含关系的极大元$H$。
显然$H\cap M=\{e\}$,所以只要证$G=MH$.

反正法,如若不然,存在$s\in G$对任意$h\in H$,使$s\not\in hM$。
(下文中$h_1,h_2\in H$且$h_1\not=h_2$)
令$I=H\cup sH$,
则$I$是$G$的子群(注意$sh_1\cdot sh_2=h_1h_2,sh_1\cdot h_2=s(h_1h_2)$)

且$I$同样满足对任意不同的$s,t\in I,s,t$不在$M$划分的同一陪集里。
如若不然
$h_1,sh_2$在同一陪集里,即$h_1,sh_2\in h_1M$,则$s\in(h_1h_2)M$,矛盾。
或者$sh_1,sh_2$在同一陪集里,即$sh_1,sh_2\in sh_1M$,则$h_2\in h_1M$,矛盾。

这样与$H$的极大性矛盾。

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