有理函数多项式的相关证明

定义:设$A(x)$,$B(x)$均为多项式,且它们互素,则称它们的商$\cfrac{A(x)}{B(x)}$为有理函数。
则请证明这个命题:
命题1:设$r(x)=\cfrac{A(x)}{B(x)}$为任意有理函数,则存在多项式$C(x)$,$D(x)$,使得
$\cfrac{A(x)}{B(x)}=C(x)+ \cfrac{D(x)}{B(x)}$.
其中,多项式$D(x)$的次数低于多项式$B(x)$的次数且$D(x)$与$B(x)$互素.

以下命题$A(x),B(x),C(x),D(x)$定义如命题一,且设$B(x)$的次数为$m$,
多项式$B(x)$可以表示为$B(x)=b(x-{b}_{1})(x-{b}_{2})\cdots(x-{b}_{m})$
其中${b}_{1}$,${b}_{2}$,$\cdots$${b}_{m}$互不相等。


命题2:令${\beta}_{j}(x)=(x-{b}_{1})\cdots(x-{b}_{j-1})(x-{b}_{j+1})\cdots(x-{b}_{m})$,$j=1,2,\cdots,m$.
则多项式组 ${\beta}_{1}(x),{\beta}_{2}(x),\cdots,{\beta}_{m}(x)$线性无关.

命题3:$D(x),{\beta}_{j}(x)\in{P}_{m}[x]$, $ j=1,2,\cdots,m$.

命题4:多项式组${\beta}_{1},{\beta}_{2},\cdots,{\beta}_{m}$构成$m$维线性空间$P_m[x]$的一组基.

命题5:存在常数${d}_{1}$ , ${d}_{2}$,$\cdots$${d}_{m}$,使得$D(x)={d}_{1}{\beta}_{1}(x)+ {d}_{2}{\beta}_{2}(x)+\cdots+{d}_{m}{\beta}_{m}(x)$.

命题6:$\cfrac{D(x)}{B(x)}=\cfrac{1}{b}\cdot(\cfrac{{d}_{1}}{x-{b}_{1}}+\cfrac{{d}_{2}}{x-{b}_{2}}+\cdots+\cfrac{{d}_{m}}{x-{b}_{m}})$
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Math001

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命题1:
对于$A(x)$与非零多项式$B(x)$,存在唯一的$C(x),D(x)$,满足
$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$,其中$\text{deg}D<\text{deg}B$

现证$B(x),D(x)$互素
如若不然,$B(x),D(x)$存在非常数的公因式$p(x)$,有
$B(x)=p(x)q_1(x)$ , $D(x)=p(x)q_2(x)$。
于是$A(x)=B(x)C(x)+D(x)=p(x)q_1(x)C(x)+p(x)q_2(x)=p(x)(q_1(x)C(x)+q_2(x))$
得到$A(x)$与$B(x)$含公因式$p(x)$的矛盾。
于是两边除以$B(x)$有,$\cfrac{A(x)}{B(x)}=C(x)+\cfrac{D(x)}{B(x)}$

命题2:
令$g(x)=k_1\beta_1(x)+k_2\beta_2(x)+\cdots+k_m\beta_m(x)$
注意到当$j\neq i$时有$\beta_j(b_i)=0$,$\beta_i(b_i)\neq0$
于是$g(b_i)=k_i\beta(b_i)$,
要使$g(x)$恒为零,只能$k_i\beta_i(b_i)=0$,即$k_i=0$
即$\beta_1(x),\beta_2(x),\cdots,\beta_m(x)$线性无关。

命题3:
由$\text{deg}D<\text{deg}B=m$ , $\text{deg}\beta_i(x)=m-1$立即得到。

命题4:
因为任何$m$个线性无关的向量构成$m$维线性空间的一组基,由命题2,命题3立即得到。

命题5:
因为线性空间中的向量能被基向量线性表示,由命题4立即得到。

命题6:
注意到$\cfrac{\beta_i{(x)}}{B(x)}=\cfrac{(x-b_1)\cdots(x-b_{i-1})(x-b_{i+1})(x-b_m)}{b(x-b_1)(x-b_2)\cdots(x-b_m)}=\cfrac{1}{b}\cdot\cfrac{1}{x-b_i}$。
再由命题5,得到结论。

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