实分析中连续性的问题

$X$是度量空间,若对于任意$x$$\in$$X$和任意的$\left\{{x}_{n}\right\}$$\subset$$X$ ${x}_{n}$$\to$$x$,有$f(x)$$\leq \lim \inf f({x}_{n})$,则$f$是下半连续的
已邀请:

Math001

赞同来自:

反正法:
如果$f(x)$在$x=a$处不下半连续,则$\exists\epsilon>0,\forall n\in\mathbb{N}^*$
存在$x_n$,虽然满足$|x_n-a|<\cfrac{1}{n}$,但$f(x_n)\le f(a)-\epsilon$

于是对上述找到的$\{x_n\}$有$x_n\to a,n\to\infty$。

于是有$\underset{n\to\infty}{\lim\inf}f(x_n)\le f(a)-\epsilon < f(a)$矛盾。

要回复问题请先登录注册