连续函数空间$C(Ω)$的可分问题

$Ω$是完备度量空间,则连续函数空间$C(Ω)$的可分等价于$Ω$的紧性。怎么证明
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Math001

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方向一:若$\Omega$紧,推$C(\Omega)$可分。
其实证明一个更强的命题,这个一般的教材上应该会是定理,如果不了解我再补充。
定理:若$X$为紧可度量空间,$Y$是完备可分可度量空间,则$C(X,Y)$是完备可分可度量空间。

方向二: 若$C(\Omega)$可分,推$\Omega$紧。
反证法:若$\Omega$不紧,则$\Omega$存在无穷可数孤立点子集$E\subseteq\Omega$。则$E$闭集。
设$F\subseteq E$为一非空真子集,易知$E,E\setminus F$都是闭集。
定义$f_F:\Omega\to\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$,$f_F(x)=\cfrac{d(x,E\setminus F)}{d(x,F)+d(x,E\setminus F)}$
易证$f_F\in C(\Omega)$
还可以容易的看出,当把$f_F$限制在$E$上取值时,$f_F$证好是$F$的特征函数。
于是$F_1\neq F_2$时,$d(f_{F_1},f_{F_2})=1$,
由于$E$的真子集不可数,所以,我们找到了一个$C(\Omega)$的一个不可分的子空间。
这与$C(\Omega)$的可分性矛盾。
证毕

icesheep

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补一下楼上提到的另一个方向,也即 $C(X,Y)$ 的可分性。
其中 $X$ 是紧度量空间,$Y$ 是可分度量空间。
大致想法就是类似 $X=[0,1]$ 的时候我们对区间作 $n$ 等分,然后用分点的函数值去控制整个区间的函数值一样。

考虑
$C_{m,n} = \{ f \in C(X,Y) : \forall x,x' \in X, d(x,x')<\frac{1}{m} \implies d(f(x),f(x'))<\frac{1}{n} \}$
令 $X_m \subset X$ 为满足 $\forall x \in X, \exists x' \in X_m$ 使得 $d(x,x')<\frac{1}{m} $
的具有最小势的集合,由 $X$ 紧性可知 $X_m$ 是有限集。
令 $D_{m,n} \subset C_{m,n}$ 为满足 $\forall f\in C_{m,n} , \forall \epsilon>0 , \exists g \in D_{m,n}$ 使得 $d(f(x'),g(x')) < \epsilon ,\qquad \forall x' \in X_m $
的可数集。
这里的 $D$ 的存在性需要用到 $Y$ 的可分性,假设 $X_m = \{ x_1 , x_2 , \dots , x_N \} \,,$ 只要找
$ A = \{ (f(x_1) , f(x_2) , \dots , f(x_N)) \in Y^N : f \in C_{m,n}\} $
的可数稠密子集就可以对应找到 $D_{m,n} \,.$ 最后只需证明 $D = \bigcup_{m,n} D_{m,n}$ 在 $C(X,Y)$ 中稠密即可。
对任意 $\epsilon>0 \,, \forall f \in C(X,Y) \,,$ 注意必有 $f \in C_{m,n}$ 对足够大的 $m$ 成立。
我们考虑找 $g \in D_{m,n}$ 来逼近 $f$,我们的想法是利用
$ d(f(x),g(x)) \leq d(f(x),f(x')) + d(f(x'),g(x')) + d(g(x'),g(x)) \,, \qquad \exists x' \in X_m $
所以可先令 $n>\frac{3}{\epsilon}$ 再令 $m$ 充分大使得 $f \in C_{m,n}$ 即可完成证明。

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