实数能否作为一个数域的二维线性空间

已知实数域$\mathbb{R}$作为有理线性空间有一组基S,那么是否存在一个数域$\mathbb{F}$,使得实数域$\mathbb{R}$可以表示成$\mathbb{F}$的二维(或大于一的有限维)线性空间?
已邀请:

Math001

赞同来自:

不行的。

反证法,如果这样的$\mathbb{F}$存在,则取$x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{F}$,
于是$x,1$构成一组基,即存在唯一的 $a,b\in\mathbb{F}$,使得$x^2=ax+b$

令$y=|x-\cfrac{a}{2}|>0$,则 $y\not\in\mathbb{F}$,且$y^2=b+\cfrac{a^2}{4}\in\mathbb{F}$

于是$1,y$构成一组基, 则存在唯一的 $c,d\in\mathbb{F}$ 使得$\sqrt{y}=c+dy$
即$y=(c^2+d^2y^2)\cdot1+2cd\cdot y$,
由表出的唯一性,得到$c=y=0\in\mathbb{F}$矛盾

要回复问题请先登录注册