极限习题一道

$a,b>0$ , $\lim\limits_{n \to ∞}$${\left(\cfrac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)}^{n}$

求以上式子极限。
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Math001

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设$t=1/n$,则$t\to0$

$原式=\lim\limits_{t\to0}\left(\cfrac{a^t+b^t}{2}\right)^\frac{1}{t}$
$=\lim\limits_{t\to0}e^\frac{\ln(a^t+b^t)-\ln2}{t} $
$=e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{\ln(a^t+b^t)-\ln2}{t} }$
$=e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{a^t\ln a+b^t\ln b}{a^t+b^t}}$ (这一步是洛毕塔)
$=e^{\frac{\ln a+\ln b}{2}}$
$=\sqrt{ab}$

Math001

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应该是$\sqrt{ab}$吧

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