紧度量空间问题

设$(X,d)$是以紧度量空间,$f:X\to X$满足若对任何不同的$x,y\in X$,有$d(f(x),f(y))<d(x,y)$,证明$f(x)=x$解存在且唯一。
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Math001

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唯一性:

若有两个解满足$f(s)=s,f(t)=t$,则有$d(s,t)=d(f(s),f(t))<d(s,t)$矛盾。


存在性
设$x_0\in X$,$x_{n+1}=f(x_n),n=0,1,2,3,\cdots$

1、 若存在$0<L<1$,满足$d(x_{n+2},x_{n+1})\le Ld(x_{n+1},x_{n})$
有$d(x_{n+2},x_{n+1})\le L^{n+1}d(x_{1},x_{0})$
于是$n\to\infty$时,$d(x_{n+2},x_{n+1})\to0$
有紧性,再取$x_{n+1}$的收敛于$s$的子列,可得到$d(f(s),s)=0$

2、若1不成立。则存在子列满足

$d(x_{n_k+2},x_{n_k+1})>(1-\dfrac{1}{n_k})d(x_{n_k+1},x_{n_k})$

这里不妨$(x_{n_{k+1}},x_{n_k})$收敛于$(s,t)$,否则取收敛子列,若$s\not=t$
则$d(f(x_{n_k+1}),f(x_{n_k}))\to d(f(s),f(t))\ge d(s,t) $矛盾。
若$s=t$,则$f(x_k)\to s$得到$f(s)=s$。



另外,附上逆逆的漂亮做法。

因为$X$紧,由连续性$g:X\to \mathbb{R},g(x)=d(x,f(x))$有最小值。

只需要证明这个最小值为$0$。

如若不然$x=a$处取最小值$g(a)=d(a,f(a))>0$

则$g(f(a)) = d(f(a),f(f(a)))<d(a,f(a))$矛盾

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