可数集合的问题

设$A$与$B$都是可列集,证明$A\bigcup_{}^{}B$也是可列集
已邀请:

Math001

赞同来自:

令$C=B\setminus A$,则$C$为可列集或者有限集。

且$A$与$C$不交,$A\cup B = A\cup C$
因$A$可列,则存在双射$g_1:\mathbb{N}\to A$

若$C=\{c_0,c_2,\cdots,c_{k-1}\}$有限集,则定义$f:\mathbb{N}\to A\cup C$如下
$f(n)=\begin{cases}c_n&n< k\\g_1(n-k)&n\ge k\end{cases}$
则$f$是一个双射。

若$C$是可列集,则存在双射$g_2:\mathbb{N}\to C$,定义$f:\mathbb{N}\to A\cup C$如下
$f(n)=\begin{cases}g_1(\cfrac{n}{2})&n为偶数\\g_2(\cfrac{n+1}{2})&n为奇数 \end{cases}$
则$f$是一个双射。

要回复问题请先登录注册