一个高等代数问题

设$\sigma$和$\tau$都是复数域$\mathbb{C}$上$n$维向量空间$V$的可对角化的线性变换, 且$\sigma\tau=\tau\sigma$. 证明: 存在$V$上的一组基, 使得$\sigma$和$\tau$关于这组基的矩阵是对角形式.
[提示: 可以证明, 如果$\sigma\tau=\tau\sigma$, 则$\sigma$与$\tau$至少有一个公共的特征向量.]
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Math001

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易知$A,B$均可对角化,那么$V$可以分解成\begin{align*}
V=\oplus_{i=1}^{r}W_{i}=\oplus_{i=1}^{s}M_{i}
\end{align*}
其中$W_{i}$是$A$特征值$\lambda_{i}$的特征子空间,$M_{i}$是$B$的…….
因此可将$V$作直和分解\begin{align*}
V=\oplus_{i=1}^{r}\oplus_{j=1}^{s}W_{i}\cap M_{j}\tag{1}
\end{align*}
在每个$W_{i}\cap M_{j}$中取一组基合并起来,那么$A,B$在这组基下均为对角阵.



(1)式是个结论,也可以证明一下:
设$V$有$A$的特征子空间的直和分解\begin{align*}
V=\oplus_{i=1}^{r}W_{i}
\end{align*}
(每个$W_{i}$特征值不同)对于任何$A$的不变子空间$W$,我们来证\begin{align*}
W=\oplus_{i=1}^{r}W\cap W_{i}
\end{align*}
证明 记$M_{i}=W\cap W_{i}$,那么直和是显然的且\begin{align*}
\cup_{i=1}^{r}M_{i}\subset W
\end{align*}
再证另一半,任取$\alpha\in W\subset V$,那么存在$\alpha_{i}\in W_{i}$使得\begin{align*}
\alpha=\sum_{i=1}^{r}\alpha_{i}
\end{align*}
进一步的有\begin{align*}
A^k\alpha=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}^{k}\alpha_{i}(k=1,2,\cdots,r-1)
\end{align*}
写成矩阵形式即为
\begin{align*}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha \\
{A\alpha } \\
\vdots \\
{{A^{r - 1}}\alpha } \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
{{\lambda _1}} & {{\lambda _2}} & \cdots & {{\lambda _r}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\lambda _1^{r - 1}} & {\lambda _2^{r - 1}} & \cdots & {\lambda _r^{r - 1}} \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}} \\
{{\alpha _2}} \\
\vdots \\
{{\alpha _r}} \\
\end{array}} \right)\end{align*}
显然该范德蒙行列式可逆,那么上式可解出$\alpha_{i}(i=1,2,\cdots,r)$,且每个都能被$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{r-1}\alpha$线性表示,而$W$是$A$的不变子空间,从而每个$\alpha_{i}\in W$,这就说明\begin{align*}
W\subset\cup_{i=1}^{r}M_{i}
\end{align*}
综上即得
\begin{align*}
W=\oplus_{i=1}^{r}W\cap W_{i}
\end{align*}

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