ZFC下能否找到满足$α=ℵ_α$的最小序数?

$\bigcup\{\omega,{\omega}_{\omega},{\omega}_{\omega_{\omega}},...\}$显然满足$\alpha=\aleph_{\alpha}$,但能否证明它是不是最小的?
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Math001

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令$\kappa_0=\omega, \kappa_{n+1}=\omega_{\kappa_n}$
那么,题设中给定的y序数,则为$\sup\{\kappa_n:n\in\omega\}=\alpha$

显然$\alpha=\omega_\alpha$。我来证他是最小的。

如果还有一$\beta<\alpha$,使得$\omega_\beta=\beta$
那必存在一$k\in\omega$,使得$\kappa_{k}\le\beta\le\kappa_{k+1}$
则$\kappa_{k+1}=\omega_{\kappa_{k}}\le\omega_\beta\le\omega_{\kappa_{k+1}}=\kappa_{k+2}$
于是$\beta=\omega_\beta=\kappa_{k+1}$,
但$\kappa_{k+1}$显然不满足条件。
矛盾。

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