线性代数关于矩阵算术

设$A=(a_{ij})$是$2 \times 2$的矩阵, 其中$a_{11} ≠ 0$, 设$α = a_{21} / a_{11}$, 证明$A$可分解为积的形式
$
A=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
\alpha & 1
\end{bmatrix}
\cdot\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & b
\end{bmatrix}
$
$b$的值是多少?
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Math001

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由$A=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
\alpha & 1
\end{bmatrix}
\cdot\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
0 & b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
\alpha\cdot a_{11} & \alpha\cdot a_{12}+b
\end{bmatrix}$
$ =\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & \cfrac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}+b
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
\alpha\cdot a_{11} & a_{22}

\end{bmatrix}$


于是$b=a_{22}-\cfrac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}=\cfrac{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}}{a_{11}}$

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