环的同构习题

求证环 $Q(\sqrt{2})$ 与 $Q(\sqrt{5})$ 不同构。
其中 $Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a,b\in Z\}$,$Q(\sqrt{5})=\{a+b\sqrt{5}|a,b\in Z\}$。
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Math001

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设$f:Q(\sqrt{2})\to Q({\sqrt{5}})$是同构映射,则$f(0)=0,f(1)=1$
且$f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)$
易知当$a\in Z^+$时,$f(a)=af(1)=a$.
于是$2=f(2)=f(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=(f(\sqrt{2}))^2 $
但$(f(\sqrt{2}))^2 =2$在$Q({\sqrt{5}})$内无解。

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