矩阵迹不等式习题

已知$A,B,A-B$正定,证明迹不等式$Tr(A^2)\ge Tr(B^2)$。把指数$2$推广到任意正指数$r$的情形,即证明$Tr(A^r)\ge Tr(B^r)$,$\forall r>0$。
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Math001

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如果你知道Courant-Fischer定理: http://en.wikipedia.org/wiki/M ... eorem
就很简单了。
记A的特征值为$0<\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$,B的特征值为$0<\gamma_1\leq\gamma_2\leq\cdots\leq\gamma_n$,由A-B正定及Courant-Fischer定理可知:
$\lambda_k\geq\gamma_k,\quad 1\leq k\leq n$
从而$\displaystyle tr(A^r)=\sum_{k=1}^n \lambda_k^r\geq\sum_{k=1}^n\gamma_k^r=tr(B^r)$

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