外形式的外积

$f$是向量空间$V$上的$r$次外形式,令$({A}_{r}(f))$$\left({u}_{{1}},···,{u}_{{r}} \right)$$=$$\cfrac{1}{r!}$$\delta_\left( 1···r\right)^\left({i}_{1}···{i}_{r} \right)$$f$$\left({u}_{{i}_{1}},···,{u}_{{i}_{r}} \right)$(求和约定)
定义外积$f$$\wedge$$g=$$\cfrac{(r+s)!}{r!s!}$$({A}_{r+s}(f\otimes g))$($f,g$是向量空间$V$上的$r,s$次外形式),若$f,g,h$是向量空间$V$上的$r,s,t$次外形式,证明$(f\wedge g)\wedge h=$$\cfrac{(r+s+t)!}{r!s!t!}$$({A}_{r+s+t}(f\otimes g \otimes h))$
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Math001

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证明之前,先陈述一引理:

设 $1 \leq p < q$, $A_q$表示作用在 $q$ 阶协变张量上的反对称化算子,即 $(A_q (f))(u_1, \cdots,u_q) = \frac{1}{q!} \delta^{i_1 \cdots i_q}_{1 \cdots q}f(u_{i_1}, \cdots, u_{i_q})$。令 $a_{p}$ 为 $q$ 阶协变张量关于前 $p$ 个自变量的反对称化算子,即 $(a_p (f))(u_1, \cdots,u_q) = \frac{1}{p!} \delta^{i_1 \cdots i_p}_{1 \cdots p}f(u_{i_1}, \cdots, u_{i_p}, u_{p+1}, \cdots, u_q)$。则对任意的 $q$ 阶协变张量 $f$ 有
\begin{align*}
A_q \circ a_p(f) = A_q(f).
\end{align*}

回到证明。对于 $A_q(f)$,显然有 $A_q (\lambda f) = \lambda A_q (f)$, 其中 $\lambda$ 是任一实数。从而由定义以及引理有
\begin{align*}
(f \wedge g) \wedge h
&= \frac{(r+s+t)!}{(r+s)!t!} A_{r+s}((f \wedge g) \otimes h) \\
&= \frac{(r+s+t)!}{(r+s)!t!} A_{r+s+t} \left ( \frac{(r+s)!}{r!s!} A_{r+s}(f \otimes g) \otimes h \right ) \\
&= \frac{(r+s+t)!}{r!s!t!} A_{r+s+t} \circ a_{r+s} (f \otimes g \otimes h) \\
&= \frac{(r+s+t)!}{r!s!t!} A_{r+s+t}(f \otimes g \otimes h),
\end{align*}

其中,
\begin{align*}
& a_{r+s}(f \otimes g \otimes h) (u_1, \cdots, u_{r+s+t}) \\
&= \frac{1}{(r+s)!} \delta^{i_1 \cdots i_{r+s}}_{1 \cdots r+s} (f \otimes g \otimes h) (u_{i_1}, \cdots u_{i_{r+s}}, u_{r+s+1}, \cdots, u_{r+s+t})\\
&= \frac{1}{(r+s)!} \delta^{i_1 \cdots i_{r+s}}_{1 \cdots r+s} (f \otimes g)(u_{i_1}, \cdots, u_{i_{r+s}}) \cdot h(u_{r+s+1}, \cdots, u_{r+s+t}) \\
&= A_{r+s} (f \otimes g) \otimes h (u_1, \cdots, u_{r+s+t}).
\end{align*}

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