证明积分不等式

证明:
$\int_{0}^{\pi/2}$${e}^{-Rsinx}$$dx$$<\cfrac{\pi}{2R}\left( 1-{e}^{-R}\right),当$R>0时
$\int_{0}^{\pi/2}$${e}^{-Rsinx}$$dx$$>\cfrac{\pi}{2R}\left( 1-{e}^{-R}\right),当$R<0时
$\int_{0}^{\pi/2}$${e}^{-Rsinx}$$dx$$=\cfrac{\pi}{2},当$R=0时
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Math001

赞同来自: 黄徐升

仅一第一个不等式为例. 注意到对$\forall x\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$, 断言$\sin x>\dfrac2\pi x$. 事实上, 设$f(x):=\sin x-\dfrac2\pi x,\quad x\in\left[0,\dfrac\pi2\right]$, $f'(x)=\cos x-\dfrac2\pi$, 故$f$的最小值点必在端点出取得, 因此断言成立. 故由该断言, 当$R>0$时, $\mathrm{e}^{-R\sin x}<\mathrm{e}^{-\frac {2R}\pi x}$. 因此当$R>0$时, $\displaystyle \int_0^\frac\pi2\mathrm{e}^{-R\sin x}\,\mathrm{d}x<\int_0^\frac\pi2\mathrm{e}^{-\frac {2R}\pi x}\mathrm{d}x=\frac\pi{2R}\left(1-\mathrm{e}^{-R}\right)$. 同理可以证明第二个不等式成立. 第三个等式是个显然的结果.

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