拓扑向量空间的问题

设$X$为拓扑向量空间, $A\subset X$为紧集, $B\subset X$为闭集. 证明: $A+B$为闭集.
已邀请:

Math001

赞同来自:

设网$x_\alpha=a_\alpha+b_\alpha$,其中$a_\alpha\in A,b_\alpha\in B$

并设$x_\alpha\to x$,这里是网收敛,下文也一样。

因$A$是紧的,所以不妨$a_\alpha\to a$,否则考虑子网,于是$a\in A$。

于是$b_{\alpha}=x_{\alpha}-a_{\alpha}$,则$b_{\alpha}\to x-a$,

由$B$是闭的,得到$x-a\in B$

于是$x=a + (x-a)\in A+B$

说明$A+B$是闭的。

网的相关概念和性质: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B6%B2_(%E6%95%B8%E5%AD%B8)

要回复问题请先登录注册