用有限个开区间覆盖$[0,1]$间所有有理数,这些开区间外测度之和大于等于$1$

如何证明这个命题
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断言: 对于任意$A,B\subset\mathbb{R}$, $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$. 事实上, 显然$\overline{A\cup B}\supset\overline{A}\cup\overline{B}$. 而由于$\overline{A}\cup\overline{B}\supset A\cup B$为闭集, 故两边取闭包, 有$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{\overline{A}\cup\overline{B}}\supset\overline{A\cup B}$. 因此$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$. 因此如果$\displaystyle [0,1]\cap\mathbb{Q}\subset\bigcup_{k=1}^N \left(\alpha_k,\beta_k\right)$, 由上述论断, 两边取闭包, 有$\displaystyle [0,1]=\overline{[0,1]\cap\mathbb{Q}}\subset\overline{\bigcup_{k=1}^N \left(\alpha_k,\beta_k\right)}=\bigcup_{k=1}^N \left[\alpha_k,\beta_k\right]$. 再由外测度的次可加性, 有$\displaystyle 1\leq m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^N \left[\alpha_k,\beta_k\right]\right)\leq\sum_{k=1}^N\left(\beta_k-\alpha_k\right)$. 因此原命题成立.
注: 上述断言在有限并的时候成立, 在无穷并的时候并不一定成立. 真是因为$\displaystyle \bigcup_\alpha \overline{A_\alpha}$并不一定是闭集.

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