积分定义有关的一道证明

设$f$在$\left[a,b \right]$上可积,求证:对任给的$\varepsilon$$>$0,必存在$\left[a,b \right]$上的连续函数$p$和$q$,使得在$\left[a,b \right]$上,有$p\leqslant$$f$$\leqslant$$q$,并且$\int_{a}^{b}$$\left(q\left( x\right) -p\left( x\right)\right)dx$$<$$\varepsilon$
注:感觉积分的一个条件是函数有界,这样的函数能用两个连续函数去逼近,来说明这个有界函数可积,从图像上想这是可能的,但是怎么构造呢?
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Math001

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思路:根据达布上下和构造两个阶梯函数逼近 $f$,再利用阶梯函数只有有限个间断点的性质用连续函数 $p,q$逼近,由于 两个逼近都可以小于任意数,这样就可以知道可以取$p,q$任意逼近$f$.
注:利用鼓包函数去逼近阶梯函数可以得到进一步的结果:任意闭区间的连续函数的积分可以用无穷次可导的函数的积分在去夹逼。

T海景leo - 90后数学渣

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如果是要求构造一个分段常值函数 得到同样结果怎么构造?

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