利用定积分定义求极限

求$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{j=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+j^2}$
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Math001

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证明:
原式$=$$\lim\limits_{n \to \infty}$$\sum_{j=1}^{{n}^{2}}$$\cfrac{1}{1+{\left(\cfrac{j}{n} \right)}^{2}}$$\cfrac{1}{n}$
$=$$\lim\limits_{n \to \infty}(\int_{0}^{1}$$\cfrac{1}{1+{x}^{2}}$$dx+\int_{1}^{2}$$\cfrac{1}{1+{x}^{2}}$$dx+...+\int_{n-1}^{n}$$\cfrac{1}{1+{x}^{2}}$$dx)$
$=$$\lim\limits_{n \to \infty}$$\int_{0}^{n}$$\cfrac{1}{1+{x}^{2}}$$dx$
$=$$\lim\limits_{n \to \infty}$$\arctan n$
$=\cfrac{\pi}{2}$

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