函数$f(x)=\ln x/x=a$有两个根,证明:两根之和大于$2e$

$f(x)=\cfrac{\ln x}{x} ,f({x}_{1})=f({x}_{2})$,求证:${x}_{1}+{x}_{2}>2e. $
已邀请:

Math001

赞同来自:

容易知道该函数在$(0,e)$上单调增,在$(e,\infty)$上单减且趋于$0$。

不妨令$0e$

设函数$g(x)=f(x)-f(2e-x)=\cfrac{\ln x}{x}-\cfrac{\ln(2e-x)}{2e-x},x\in (0,e)$,。
则$g^{\prime}(x)=\cfrac{1-\ln(x)}{x^2}+\cfrac{1-\ln(2e-x)}{(2e-x)^2}\\
\geq\cfrac{1-\ln(x)}{(2e-x)^2}+\cfrac{1-\ln(2e-x)}{(2e-x)^2}\\
=\cfrac{2-\ln [x(2e-x)]}{(2e-x)^2}>0$

我们有:
$g(x)
于是得到$g(x_1) = f(x_1)-f(2e-x_1)= f(x_2)-f(2e-x_1)<0$
得到$f(x_2) 所以由$2e-x_1>e,x_2>e$及$f(x)$在$(e,+\infty)$的单调性有$x_2>2e-x_1$
$x_1+x_2>2e$
证毕。

要回复问题请先登录注册