求构造一个实数域上的不连续线性泛函

选择公理的构造方法和其他构造都说一下吧,谢谢
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Math001

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这个大概的确要依赖选择公理

设$X=C[0,1]$,那么$X$是无限维的。

取$X$中线性无关的一列点$F=\{f_1,f_2,\cdots,f_n,\cdots\}$,满足$\|f_i\|=1,i=1,2,3,\cdots,n,\cdots$

将$F$扩充为其Hamel基$B$,则$B$是不可数的。

定义$T:B\to\mathbb{R}$如下:

$T(b)=\begin{cases}n&b=f_n\\0&b\notin F\end{cases}$

再把$T$扩充为$X$上的线性函数,则$T$是无界线性泛函。

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