一个简单偏微分方程的求解

$z$是一个关于$x$和$y$的函数,并且有$x$$\cfrac{dz}{dy}$$+$$y$$\cfrac{dz}{dx}$$=z$,求$z$的解析式。
注:是微积分上将多元函数高阶导数的一个习题。
已邀请:

Math001

赞同来自:

解法(1):
$\\ y\frac{\partial z}{\partial x} + x\frac{\partial z}{\partial y}=z
\\ m=x+y,n=x-y
\\ \frac{m-n}{2}\left ( \frac{\partial z}{\partial m} + \frac{\partial z}{\partial n} \right )+\frac{m+n}{2}\left ( \frac{\partial z}{\partial m}-\frac{\partial z}{\partial n} \right )=z
\\ m \frac{\partial z}{\partial m}-n\frac{\partial z}{\partial n}=z
\\ t = mn
\\ m \left ( \frac{\partial z}{\partial m} + n\frac{\partial z}{\partial t}\right )-n\left ( m \frac{\partial z}{\partial t} \right )=z
\\\therefore z=Cm=mf(t)=(x+y)f(x^2-y^2)$


解法(2):
$
\begin{align}
& x \frac{\partial z}{\partial y}+y \frac{\partial z}{\partial x}=z \\
& \text{令} y = y(x),那么\frac{d}{dx}z(x,y(x))=\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{dy}{dx}\frac{\partial z}{\partial y} \\
& x \frac{\partial z}{\partial y} +y (\frac{dz}{dx}-\frac{dy}{dx}\frac{\partial z}{\partial y})=z \\
& \text{选取合适的y(x),可以使得}\frac{\partial z}{\partial y}\text{的系数为0,此时可以得到下面的方程组} \\
& \left\{\begin{matrix}
y \frac{dz}{dx}=z (1)
\\
x=y\frac{dy}{dx} (2)
\end{matrix}\right. \\
&\text{解方程组(2)可以得到}x^2-y^2=C_1 \\
&\text{代人方程组(1)可以解出}z=(x+\sqrt{x^2-C_1})C_2\\
&\text{由于}C_2\text{和}C_1\text{都是与x,y无关的常数,所以}C_2\text{可以写成}x^2-y^2\text{的函数} \\
&\therefore z=(x+y)f(x^2-y^2)

\end{align}
$

要回复问题请先登录注册