向量组等价问题

已知$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3$都是3维列向量,

记向量组
(1):$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$,
(2)$\beta_1,\beta_2,\beta_3$,

(2)能被(1)线性表示,且(2)与(1)的秩相等,求证(1)与(2)等价。
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Math001

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不妨设(2)的极大无关组为$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$
(1)的极大无关组为$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$

所以有
$\begin{cases}
\beta_1=k_{11}\alpha_1+k_{12}\alpha_2+\cdots+k_{1r}\alpha_r\\
\beta_2=k_{21}\alpha_1+k_{22}\alpha_2+\cdots+k_{2r}\alpha_r\\
\cdots\\
\beta_r=k_{r1}\alpha_1+k_{r2}\alpha_2+\cdots+k_{rr}\alpha_r\\

\end{cases}$

令$K=\left(\begin{matrix}k_{11}&k_{21}&\cdots&k_{r1}\\k_{12}&k_{22}&\cdots&k_{r2}\\&\cdots&\cdots\\k_{1r}&k_{2r}&\cdots&k_{rr}\end{matrix}\right)$

整理一下得到
$
(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)K
$

由于等式左边的秩为$r$,所以$K$的秩只能为$r$,即$K$为满秩的。

所以$
(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)K^{-1}
$

这说明了(1)能被(2)线性表示。即两者等价。

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