复分析里的一道题

假设 $f$ 在全平面解析并且对每个 $z_0\in\mathbb{C}$ 至少有一个展开系数
$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n
$
是 $0$. 证明 $f$ 是多项式型.
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Math001

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令$A_n=\{z:f^{(n)}(z)=0\}$,则每个$A_n$闭集。

由于$\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n=\mathbb{C}$,所以必有一个$A_n$为不可数集,设为$A_k$。

复平面上的不可数集必有聚点。由闭性,$A_k$中还有聚点。

注意到$f^{(k)}$也是解析的。

所以,由解析延拓定理有$f^{(k)}(z)=0$,即$f$必为多项式。

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