设$A,B$为$G$的有限子群.证明:$|A|\cdot|B|=|AB|\cdot|A∩B|$

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Math001

赞同来自: poorich 凌空一羽

注意到$A\cap B$为$A$的子群,也是$B$的子群。

设$|A\cap B|=r $,$A\cap B$分划$A$的左陪集数是$m$,分划$B$的右倍集数为$n$

这样$|A|=mr,|B|=nr$

现在只需要证明$|AB|=mnr$

在上述中的每个陪集里取一代表$a_1,a_2,\cdots,a_m$,

令$S=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$,

注意$a_i^{-1}a_j\notin A\cap B, i\not=j~~~~(*)$

现在来证 $SB=AB$,一方面由$S\subset A$得到$SB\subset AB$

令一方面,取$ab,a\in A,b\in B$,则存在$a_i\in S,c\in A\cap B$,有$a_ic=a$

于是$ab=a_i(cb)\in SB$

再来证$|SB|=|S||B|=mnr$于是证毕。

设$B=\{b_1,\cdots,b_n\}$则$SB=\{a_ib_j:a_i\in S,b_j\in B\}$,其中${1\le i\le m,1\le j\le n}$

现在只要证当$i\not=i'$及$j\not=j'$时,$a_ib_j\not=a_{i'}b_{j'}$

否则有$a_{i'}^{-1}a_i =b_{j'}b_{j}^{-1}\in A\cap B$,与$(*)$矛盾,于是完成证明

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