用导数研究函数性质习题

$f\in C^1(a,b), \lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=+\infty,
\lim\limits_{x \to b^-}=-\infty,$
$ f'(x)+f^2(x)\ge-1, \forall x \in (a,b).$
$Pro: b-a\ge\pi.$
并给出一个等号成立的例子.
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Math001

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$f$应是$C^1(a,b)$

令$F(x)=\begin{cases}-\cfrac{\pi}{2}&x=a\\-\arctan{f(x)}&a
于是$F$在$[a,b]$连续,$(a,b)$可导

由中值定理有,$\pi=F(b)-F(a) = F'(\xi)(b-a)=-\cfrac{f'(\xi)}{1+f^2(\xi)}(b-a)\le b-a$

等号成立,例子$f(x)=-\tan x,x\in(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2})$

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