大一线性空间习题,幂等和投影

$V$是数域$P$上$n$维的线性空间,$f$是$V$上的同态.
$f^2=f$.
$V_1=\ker f$,
$V_2=f(V)$,
证明$V$是$V_1,V_2$的直和.
f大概是投影矩阵吧...
感觉就很直观了,但应该怎样写呢...
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Math001

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取$v\in V$,则有$v = (v-f(v)) +f(v)$

显然$v-f(v)\in V_1,f(v)\in V_2$

于是$V=V_1+V_2$

要证直和,只需$V_1\cap V_2=\{0\}$

取$u\in V_1\cap V_2$,于是存在$u'\in V, f(u')=u$

有$0=f(u)=f^2(u')=f(u')=u$

证毕

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