求多项式(整除相关)

求域$F$上的$7$次多项式$f(x)$,使得 ${(x-1)}^{4}|(f(x)+1)$,${(x+1)}^{4}|(f(x)-1)$.
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Math001

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显然$f'(x)$含有$(x-1)^3,(x+1)^3$为因式

所以设$f'(x)=C_1(x-1)^3(x+1)^3$为$6$次的。

$f(x)=C_1\int_0^x(t-1)^3(t+1)^3dt + C_2$,满足$f(1)=-1,f(-1)=1$

得到$f(x)=C_1(\cfrac{1}{6}x^7-\cfrac{3}{5}x^5+x^3-x)+C_2$,代入$x=\pm1$得到

$C_1=2,C_2=0$,得到$f(x)=\cfrac{1}{3}x^7-\cfrac{6}{5}x^5+2x^3-2x$

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