设函数f(x)具有二阶导数,且f(x)二阶倒大于0,证明:f(a+h)+f(a-h)≥2f(a)

设函数$f(x)$具有二阶导数,且$f''(x)>0$,证明:$f(a+h)+f(a-h)≥2f(a)$
已邀请:

Math001

赞同来自: 格罗滕迪克

用中值定理
只要证$f(a+h)+f(a-h)-2f(a)=(f(a+h)-f(a))-(f(a)-f(a-h))≥ 0$
由中值定理有存在$0<\theta_1<1 $使得
$f(a+h)-f(a)=f^\prime(a+\theta_1 h)h$
存在$0<\theta_2<1 $使得
$f(a)-f(a-h)=f^\prime(a-\theta_2 h)h$
所以上式变为
$f^\prime(a+\theta_1 h)h-f^\prime(a-\theta_2 h)h=(f^\prime(a+\theta_1 h)-f^\prime(a-\theta_2h))h≥ 0$
再由中值定理存在$\xi $在$a-\theta_2 h与a+\theta_1 h$之间使得
$f^\prime(a+\theta_1 h)-f^\prime(a-\theta_2 h)=f^{\prime \prime}(\xi)(\theta_2 +\theta_1)h^2$
所上式再变为$f^{\prime\prime}(\xi)(\theta_2 +\theta_1)h^2 ≥ 0$
这个由f二阶导大于0,是显然的。
于是证毕

要回复问题请先登录注册