Lagrange中值定理

设f(x)∈C[a,b]∩D(a,b),且f(a)·f(b)>0,f(a)·f((a+b)/2)<0.试证至少存在ξ∈(a,b),使 f '(ξ)=f(ξ)
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Math001

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令$ p(x)=e^{-x}f(x) $
则由 $ f(a)f(\cfrac{a+b}{2})<0$有,存在$\alpha\in (a,\cfrac{a+b}{2}) $(连续函数介值定理)
使得:$f(\alpha)=0$.故$p(\alpha)=e^{\alpha}f(\alpha)=0$

则由 $ f(b)f(\cfrac{a+b}{2})=f(b)f(a)\cdot \cfrac{f(a)f(\frac{a+b}{2})}{(f(a))^2}<0$有,存在$\beta\in (\cfrac{a+b}{2},b) $
使得:$f(\beta)=0$.故$p(\beta)=e^{\beta}f(\beta)=0$

所以由Lagrange中值定理,存在$\xi\in(\alpha,\beta)\subset(a,b) $,使得
$p'(\xi)=e^{-\xi}f'(\xi)-e^{-\xi}f(\xi)=e^{-x}(f'(\xi)-f(\xi))=0 $
即$f'(\xi)-f(\xi)=0$
即$f'(\xi)=f(\xi)$

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