证明集合可数

设集合$X$是由$R^1$中某些互不相交的正测度集形成的集族。证明:集合$X$是可数集。
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Math001

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设$X=M_{\alpha}~,~~\alpha\in I$

如果$I$不可数。

注意到,必然存在一个自然数$k$ 使得满足$m\left([-k,k]\cap M_\alpha\right)>0$ 的$M_\alpha$有不可数多个。

记$Y=\{A~:~ A=[-k,k]\cap M, m(A)>0, M\in X\}$,则$Y$不可数

于是,存在一正有理数$q$,使得$\{A : A\in Y,m(A)>q\}$有无穷多个元素。

如若不然,对任意正有理数$q$,$\{A : A\in Y,m(A)>q\}$有限。

于是 $Y=\bigcup\limits_{q\in Q^+}\{A : A\in Y,m(A)>q\}$可数,与$Y$不可数矛盾。

这样,在$Y$中,找出无穷可数个元素$A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$

于是$m(\bigcup_n A_n)=\sum_nm(A_n)=\infty$

但,每个$A_n$都是$[-k,k]$的子集,它们的并集的测度应该是有限的。

于是矛盾。

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