复变函数证明

(1)$f(z)\in \mathrm{A}(C)$,且$f(z)$在$\left| z\right|=1$为实数,问$f$能否为非常数函数?
(2)$f(z)$于$\left| z\right|<1$内解析,且于$\left|z \right|\leqslant1$上连续,证明若$f(z)$于$\left|z \right|=1$为实数,则$f(z)$于$\left| z\right|\leqslant1$为常数。
(3)证明:$f(z)=\sum z^{4^n}$的收敛半径为$1$,其和函数$f(z)$在$\left|z \right|<1$解析,但在$\left|z \right|=1$的每一点都是奇点。
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