抽象代数的问题

1. 群$G$的阶为${p}^{2}q$,这里$p$和$q$都是素数,且$q<p$,同时,$q$也不是${p}^{2}-1$的因子。
求证:$G$是交换群。
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Math001

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设$n_q$为$G$的西罗$q$-子群的个数。

利用西罗定理。

则$n_q=1+kq$,因为$q\not|~p^2-1$

所以$n_q\not=p,~n_q\not=p^2$

于是$G$有正规的西罗$q$-子群。

说明$G\cong Z_{p^2}\times Z_q$,或者$G\cong Z_{p}\times Z_{p}\times Z_q$

所以$G$可交换。

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