相合对角化的条件

在实数域中,是不是只有${A}$是实对称矩阵才有可能满足${P}^{T}$ ${A}$${P}$为对角阵
在复数域中,是不是只有${A}$是正规阵才有可能满足${P}^{H}$ ${A}$${P}$为对角阵
这里P为可逆矩阵
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嗓威/qq

赞同来自: Math001 poorich

注意这些结论,一个正规矩阵可以酉对角化,并且反过来亦然,因此当上述P取为酉矩阵的话,第一个结论酉矩阵在实数域内看成实正交矩阵,有这么一个结论:两个实矩阵酉相似当且仅当他们实正交相似,证明的话需要用到酉矩阵的QS分解,所以可以知道这样的A是实数域内的正规矩阵,并且特征值全是实数,这样的矩阵一定是实对称矩阵。第二个结论,如果P是酉矩阵是必然的。
下面说说如果P并非酉矩阵(实正交矩阵)的情况,这时候两个结论都不一定成立,因为和对角阵相合的矩阵连对称性都保证不了,很简单的一个例子,取对角阵为I,P为(0,1/2,1,0)后面两个是他的第二行。第二个结论也不一定成立,普通的*相合是保证不了正规性,例子和上面的相同。

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