线性函数证明

已知$V={P}^{n×n}$,$f$为$V$上的线性函数,若对任意的$A,B\in V$都有$f(AB)=f(BA),f(E)=n$.证明:$f=tr$
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令 $E_{ij}=e_ie_j^T$ 为 $n$ 阶方阵全体的一组基, 由线性性只需对这组基进行验证.

1. 由 $f(E_{ii})=f(E_{ij}E_{ji})=f(E_{ji}E_{ij})=f(E_{jj})$ 得 $nf(E_{ii})=\sum_{k=1}^nf(E_{kk})=f(E)=n$, 所以 $f(E_{ii})=1$.

2. 当 $i\neq j$ 时 $f(E_{ij})=f(E_{ii}E_{ij})=f(E_{ij}E_{ii})=f(0)=0$.

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