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元始天尊
赞同来自: 凌空一羽 、我是大好人 、代数龙
妖心儿
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90后。学生。
2 个回复
元始天尊
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如果 $x^n+5x^{n-1}+3$ 在整数环上可约,那么它至少需要有两个根在单位圆外或者单位圆周上,矛盾。
妖心儿
赞同来自: 凌空一羽
其中$deg(p),deg(q)\ge 1$且首项系数均为1
因为$\forall k\in Z$均有$f(k)$是奇数
所以$deg(p),deg(q)\ge 2$
因为在$F_3[x]$中我们有$p(x)q(x)=x^{n-1}(x+2)$
所以在$F_3[x]$中$p(x)=x^s(x+2),g(x)=x^{n-1-s}$
根据次数关系$s\ge 1, n-1-s\ge 2$
即$p(x),q(x)$常数项均是3的倍数
从而$f(x)=p(x)q(x)$常数项是9的倍数
矛盾