证明整系数多项式不可约

设$n>1$,试证:多项式${x}^{n}+5{x}^{n-1}+3$在整系数范围内不可约。
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利用 Rouche 定理可知 $x^n+5x^{n-1}+3$ 有 $n-1$ 个根在单位圆内部(考察 $x^n+5x^{n-1}$),余下一个根在单位圆外。
如果 $x^n+5x^{n-1}+3$ 在整数环上可约,那么它至少需要有两个根在单位圆外或者单位圆周上,矛盾。

妖心儿

赞同来自: 凌空一羽

如果$f(x)=x^n+5x^{n-1}+3=p(x)q(x)$
其中$deg(p),deg(q)\ge 1$且首项系数均为1
因为$\forall k\in Z$均有$f(k)$是奇数
所以$deg(p),deg(q)\ge 2$
因为在$F_3[x]$中我们有$p(x)q(x)=x^{n-1}(x+2)$
所以在$F_3[x]$中$p(x)=x^s(x+2),g(x)=x^{n-1-s}$
根据次数关系$s\ge 1, n-1-s\ge 2$
即$p(x),q(x)$常数项均是3的倍数
从而$f(x)=p(x)q(x)$常数项是9的倍数
矛盾

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